Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích

Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích

Quỹ tích là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học THCS cũng như THPT. Vậy quỹ tích là gì? Cách giải bài toán quỹ tích như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về chủ đề quỹ tích là gì nhé!. 

Định nghĩa quỹ tích là gì? 

Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có đặc thù T khi và chỉ khi hình H chứa những điểm có đặc thù T .

Các loại quỹ tích cơ bản

  • Tập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.

  • Tập hợp những điểm cách đều hai điểm cố định và thắt chặt chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy .
  • Tập hợp những điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó .
  • Tập hợp những điểm cách đường thẳng ( d ) một khoảng chừng bằng I là hai đường thẳng song song với ( d ) và sẽ cách đường thẳng ( d ) một khoảng chừng chính bằng I .
  • Ta có tập hợp của những điểm cách điểm cố định và thắt chặt O một khoảng chừng bằng R chính là đường tròntâmO, với nửa đường kính R trong mặt phẳng và là mặt cầutâmO ,bán kínhR trong khoảng trống ba chiều .
  • Tập hợp những điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc \ ( \ widehat { AMB } \ ) sẽ có số đo bằng \ ( \ alpha \ ) không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB ( được gọi là cung tròn chứa góc \ ( \ alpha \ ) vẽ trên đoạn AB ) .
  • Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó .
  • Tập hợp những điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm cố định và thắt chặt cho trước ( nằm trong mặt phẳng đó ) chính là đường elíp nhận hai điểm cố định và thắt chặt đó là tiêu điểm .
  • Tập hợp những điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định và thắt chặt sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định và thắt chặt đó .

Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích

Tìm hiểu kĩ bài toán

Trước hết bạn cần khám phá kĩ bài toán để nắm vững những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ Open 3 yếu tố sau đây :

  • Yếu tố cố định:Như những điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, … .
  • Yếu tố không đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, … .
  • Yếu tố thay đổi: Thông thường là những điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc những đoạn thẳng, hoặc những hình mà trên đó chứa những điểm ta cần tìm quỹ tích .

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích

Để hiểu rõ hơn về những yếu tố trên ta xét những ví dụ sau đây :

Ví dụ 1: Cho một góc vuông \(\widehat{xOy}\) cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB .

Trong bài toán này tất cả chúng ta cần xác lập 3 yếu tố đã nêu trên :

  • Yếu tố cố định và thắt chặt là đỉnh O của góc vuông \ ( \ widehat { xOy } \ )
  • Yếu tố không đổi là độ dài của đoạn thẳng AB
  • Yếu tố đổi khác là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng biến hóa .

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

  • Yếu tố cố định và thắt chặt là đỉnh A và đường thẳng ( b )
  • Yếu tố đổi khác là đỉnh B và đỉnh C
  • Yếu tố không đổi chính là hình dạng của tam giác ABC ( AB = AC )

Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý: 

  • Trong một bài toán hoàn toàn có thể có nhiều yếu tố cố định và thắt chặt, nhiều yếu tố không đổi và nhiều yếu tố đổi khác. Vì vậy, ta chỉ tập trung chuyên sâu vào những yếu tố có tương quan đến cách giải mà thôi .
  • Đôi khi những yếu tố đặc trưng trên không được cho một cách trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh động và phát minh sáng tạo .
  • Ở ví dụ 2, đề bài nhu yếu là tam giác đồng dạng với chính nó, do đó ta cần lập ra hoặc chứng tỏ những giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng ( AB = AC ). Thông qua việc đó giúp ta hoàn toàn có thể giải bài toán một cách đơn thuần hơn

Cách đoán nhận quỹ tích

Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tưởng tượng ra được hình dạng của quỹ tích ( đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn trụ, …. ) .
Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để hoàn toàn có thể nhận được tác dụng tốt và đơn thuần nhất ta xét những điểm số lượng giới hạn của chúng, với điều kiện kèm theo là vẽ hình đúng mực .

  • Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì nhiều năng lực quỹ tích là đường tròn
  • Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì năng lực quỹ tích sẽ là đường thẳng .

Cách giải bài toán quỹ tích

Chứng minh phần thuận

Mọi điểm có đặc thù T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích ( kiểm tra với một vài trường hợp đơn cử, Dự kiến và sử dụng lặp luận để chứng tỏ quỹ tích cần tìm ) .

Chứng minh phần đảo

Mọi điểm thuộc hình H đều có đặc thù T. Mục tiêu của việc chứng tỏ phần hòn đảo là xác định lại một lần nữa ( trong nhiều trường hợp thì việc xét phần hòn đảo sẽ là cách chứng tỏ chắc như đinh nhất cho lập luận của mình ) .

Tóm lại: Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta kết luận: Quỹ tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm

Để giải được bài toán tìm quỹ tích điểm : \ ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } = k \ overrightarrow { MC } \ )

  • Bước 1: Xác định những yếu tố đặc trưng ( yếu tố cố định và thắt chặt, yếu tố không đổi, yếu tố đổi khác )
  • Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau :

Dạng 1: Cho ba điểm A, B, C cố định. M di chuyển. Ta chứng minh được \(\overrightarrow{CM}=k\overrightarrow{AB}\) khi đó điểm M di chuyển trên đường thẳng \(\left (\Delta \right )\) qua điểm C và song song với AB.

định nghĩa quỹ tích là gì

Dạng 2: Cho hai điểm A, B cố định. Quỹ tích điểm M là điểm di chuyển sao cho \(\left | \overrightarrow{MA} \right |=\left | \overrightarrow{MB} \right |\). Khi đó quỹ tích điểm M thỏa mãn \(\left | \overrightarrow{MA} \right |=\left | \overrightarrow{MB} \right |\) là đường thẳng \(\left (\Delta \right )\) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

quỹ tích là gì và các dạng toán

Dạng 3: Cho \(I\) là điểm cố định, M là điểm di động. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow{IM}=R>0\) thì quỹ tích điểm M là đường tròn \(\left ( I;R \right )\) 

quỹ tích là gì và các dạng bài tập

Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) là đường tròn (C) có \(\left ( O;\frac{AB}{2} \right )\)

lý thuyết quỹ tích

Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm M di chuyển có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0\). Khi đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng \(\left ( \Delta \right )\) đi qua A và vuông góc với AB.

luyện tập về quỹ tích

Một số bài tập tìm quỹ tích điểm

Từ khái niệm quỹ tích là gì, để nắm rõ hơn kiến thức và kỹ năng, tất cả chúng ta cùng tìm hiểu và khám phá về 1 số ít bài tập quỹ tích dưới đây nhé .

Ví dụ 1: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{BC}\left ( k\ne0 \right )\)

Cách giải: 

Nhận xét :

  • A, B, C là yếu tố cố định và thắt chặt .
  • M là yếu tố đổi khác .

Gọi \ ( I \ ) là trung điểm của AB. Ta có :
\ ( \ overrightarrow { MA } + 2 \ overrightarrow { MB } – \ overrightarrow { MC } = k \ overrightarrow { BC } \ )

\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{BC}\)

\ ( \ Rightarrow2 \ overrightarrow { MI } + \ overrightarrow { CB } = k \ overrightarrow { BC } \ ) ( do \ ( I \ ) là trung điểm của AB )
\ ( \ Rightarrow2 \ overrightarrow { MI } = k \ overrightarrow { BC } – \ overrightarrow { CB } \ )
\ ( \ Rightarrow2 \ overrightarrow { MI } = k \ overrightarrow { BC } + \ overrightarrow { BC } \ )
\ ( \ Rightarrow2 \ overrightarrow { MI } = \ left ( k + 1 \ right ) \ overrightarrow { BC } \ )
\ ( \ Rightarrow \ overrightarrow { MI } = \ left ( \ frac { k + 1 } { 2 } \ right ) \ overrightarrow { BC } \ ) ( tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên ) .
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng \ ( \ left ( \ Delta \ right ) \ ) đi qua \ ( I \ ) và song song với BC

Ví dụ 2: Cho A,B cố định. Tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=5\) 

Cách giải: 

Nhận xét :

  • A, B là yếu tố cố định và thắt chặt .
  • M là yếu tố đổi khác

Giả sử điểm \ ( I \ ) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn nhu cầu \ ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } = \ overrightarrow { 0 } \ )
Khi đó ta có :
\ ( \ left | 2 \ overrightarrow { MA } + 3 \ overrightarrow { MB } \ right | = 5 \ \ \ Rightarrow \ left | 2 \ overrightarrow { MI } + 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { MI } + 3 \ overrightarrow { IB } \ right | = 5 \ \ \ Rightarrow \ left | 5 \ overrightarrow { MI } + \ left ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } \ right ) \ right | = 5 \ \ \ Rightarrow5 \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | = 5 \ \ \ Rightarrow \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | = 1 \ )
( giống với dạng 3 đã nêu ở trên )
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm \ ( I \ ) và nửa đường kính = 1 .

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB} \right |=\left |\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MD} \right |\)

Cách giải: 

  • Giả sử điểm \ ( I \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } = \ overrightarrow { 0 } \ )
  • Giả sử điểm \ ( J \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ overrightarrow { JC } + 4 \ overrightarrow { JD } = \ overrightarrow { 0 } \ )

Ta có :
\ ( \ left | 2 \ overrightarrow { MA } + 3 \ overrightarrow { MB } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MC } + 4 \ overrightarrow { MD } \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | 2 \ overrightarrow { MI } + 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { MI } + 3 \ overrightarrow { IB } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MJ } + \ overrightarrow { JC } + 4 \ overrightarrow { MJ } + 4 \ overrightarrow { JD } \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | 5 \ overrightarrow { MI } + \ left ( 2 \ overrightarrow { IA } + 3 \ overrightarrow { IB } \ right ) \ right | = \ left | 5 \ overrightarrow { MJ } + \ left ( \ overrightarrow { JC } + 4 \ overrightarrow { JD } \ right ) \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | 5 \ overrightarrow { MI } \ right | = \ left | 5 \ overrightarrow { MJ } \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | \ overrightarrow { MI } \ right | = \ left | \ overrightarrow { MJ } \ right | \ )
( giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên ) .
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng \ ( \ left ( \ Delta \ right ) \ ) là trung trực của \ ( IJ \ )

Ví dụ 4: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM^2\)

Cách giải: 

Ta có :
\ ( \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AM } \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AB } – \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AM } = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ left ( \ overrightarrow { AB } – \ overrightarrow { AM } \ right ) = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { MB } = 0 \ \ \ Rightarrow – \ overrightarrow { MA }. \ overrightarrow { MB } = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { MA }. \ overrightarrow { MB } = 0 \ )
( giống dạng toán 4 đã nêu ở trên )
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O nửa đường kính là \ ( \ frac { AB } { 2 } \ ) .

Ví dụ 5: Cho \(\bigtriangleup ABC\). Tìm tập hợp điểm M sao cho \(\left |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right |=\left |6\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right |\)

Cách giải: 

  • Gọi \ ( I \ ) là trung điểm của BC \ ( \ Rightarrow \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } = 2 \ overrightarrow { MI } \ )
  • Gọi G là trọng tâm của \ ( \ bigtriangleup ABC \ Rightarrow \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } \ )

Ta có :
\ ( \ left | \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } \ right | = \ left | 6 \ overrightarrow { MA } – 3 \ overrightarrow { MB } + 3 \ overrightarrow { MC } \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GC } \ right | = \ left | 6 \ overrightarrow { MA } – 3 \ left ( \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MC } \ right ) \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | 3 \ overrightarrow { MG } + \ left ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } \ right ) \ right | = \ left | 6 \ overrightarrow { MA } – 3 \ left ( 2 \ overrightarrow { MI } \ right ) \ right | \ \ \ Rightarrow \ left | 3 \ overrightarrow { MG } \ right | = \ left | 6 \ overrightarrow { MA } – 6 \ overrightarrow { MI } \ right | \ \ \ Rightarrow3 \ left | \ overrightarrow { MG } \ right | = 6 \ left | \ overrightarrow { IA } \ right | \ \ \ Rightarrow MG = 2IA \ )

  • Ta thấy A cố định và thắt chặt ( giả thiết ) và \ ( I \ ) là trung điểm của BC suy ra \ ( I \ ) cố định và thắt chặt. ( 1 )
  • G là trọng tâm của \ ( \ bigtriangleup ABC \ ) suy ra G cố định và thắt chặt ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, nửa đường kính là \ ( 2IA \ )

Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho \(AM^2+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\)

Cách giải: 

Ta có :
\ ( AM ^ 2 + \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { MB } = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { MB } = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ left ( \ overrightarrow { AM } + \ overrightarrow { MB } \ right ) = 0 \ \ \ Rightarrow \ overrightarrow { AM }. \ overrightarrow { AB } = 0 \ )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã cùng bạn tổng hợp và tìm hiểu về chủ đề quỹ tích là gì cùng một số kiến thức liên quan. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những nội dung hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề quỹ tích là gì. Chúc bạn luôn học tập tốt!. 

Xem cụ thể qua bài giảng dưới đây :

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm :

Rate this post

Please follow and like us :

error fb-share-icon
Tweet

fb-share-icon

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.