Nghiệm là gì trong toán học

Trong toán học, phương trình là một phát biểu khẳng định sự bằng nhau của hai biểu thức. Phương trình trong các ngôn ngữ khác có thể có nhiều ý nghĩa khác nhau; ví dụ, trong tiếng Pháp, một équation được định nghĩa là chứa một hoặc nhiều biến, còn trong tiếng Anh bất kỳ sự đẳng thức nào đều là một equation.[2]

Nội dung chính

Mục lục
Giới thiệuSửa đổi
Minh họaSửa đổi
Tham số và ẩn sốSửa đổi
Đồng nhất thứcSửa đổi
Phương trình tương đương và phương trình hệ quảSửa đổi
Khái niệmSửa đổi
Các phép biến đổi tương đươngSửa đổi
Đại sốSửa đổi
Phương trình đa thứcSửa đổi
Hệ phương trình tuyến tínhSửa đổi
Hình họcSửa đổi
Hình học giải tíchSửa đổi
Phương trình DescartesSửa đổi
Phương trình tham sốSửa đổi
Lý thuyết sốSửa đổi
Phương trình DiophantineSửa đổi
Đại số và số siêu việtSửa đổi
Hình học đại sốSửa đổi
Phương trình vi phânSửa đổi
Phương trình vi phân thườngSửa đổi
Phương trình vi phân riêng phầnSửa đổi
Các loại phương trìnhSửa đổi
Xem thêmSửa đổi
Ghi chúSửa đổi
Tham khảoSửa đổi

Lần sử dụng tiên phong của một dấu bằng, tương tự với 14 x + 15 = 71 trong ký hiệu tân tiến. Xuất hiện trong The Whetstone of Witte của Robert Recorde xứ Wales ( 1557 ). [ 1 ]

Giải một phương trình chứa biến là việc xác định giá trị nào của các biến làm cho đẳng thức trở nên đúng. Biến còn được gọi là ẩn số và các giá trị của ẩn số thỏa mãn được gọi là nghiệm của phương trình. Có hai loại phương trình: đồng nhất thức và phương trình có điều kiện. Một đồng nhất thức đúng cho tất cả các giá trị của biến. Phương trình có điều kiện chỉ đúng với các giá trị nhất định của các biến số, hoặc không đúng với giá trị nào.[3][4]

Bạn đang đọc: Nghiệm là gì trong toán học

Một phương trình được viết dưới dạng hai biểu thức, nối với nhau bằng dấu bằng ( ” = ” ). Các biểu thức ở hai bên của dấu bằng được gọi là ” vế trái ” và ” vế phải ” của phương trình .Loại phương trình phổ cập nhất là phương trình đại số, trong đó hai vế là những biểu thức đại số. Mỗi bên của một phương trình đại số chứa một hoặc nhiều số hạng. Ví dụ, phương trình A x 2 + B x + C = y { \ displaystyle Ax ^ { 2 } + Bx + C = y } $Ax^{2}+Bx+C=y$ có vế trái là Ax2 + Bx + C với ba số hạng, và vế phải là y chỉ có 1 số ít hạng. Các ẩn số là x và y, còn những tham số là A, B, C .Một phương trình tựa như như một cái cân mà khối lượng được đặt vào. Khi đặt một vật gì đó có khối lượng bằng nhau ( ví dụ như hạt ) vào hai chảo, thì hai bên cân đó cân đối và được cho là bằng nhau. Nếu một lượng hạt được lấy ra từ một chảo của cân thì một lượng hạt có khối lượng tương tự phải được lấy ra khỏi chảo kia để giữ cho cân được cân đối. Tương tự như vậy, để giữ cho một phương trình ở trạng thái cân đối, những phép toán cộng, trừ, nhân và chia giống nhau phải được triển khai trên cả hai vế của một phương trình để nó vẫn đúng .Trong hình học, phương trình được sử dụng để diễn đạt những hình dạng khác nhau. Các phương trình được xem xét, ví dụ điển hình như phương trình ẩn hoặc Phương trình tham số, có vô số nghiệm, thay vì xác lập đơn cử những nghiệm hoặc liệt kê chúng, người ta sử dụng phương trình để nghiên cứu và điều tra đặc thù của những hình dạng. Đây là ý tưởng sáng tạo khởi đầu của hình học đại số, một nghành nghề dịch vụ quan trọng của toán học .Đại số nghiên cứu và điều tra hai họ phương trình chính : phương trình đa thức và trường hợp đặc biệt quan trọng, phương trình tuyến tính. Khi chỉ có một biến, phương trình đa thức có dạng P. ( x ) = 0, trong đó P. là một đa thức ; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong đó a và b là những tham số. Để giải những phương trình dạng này, người ta sử dụng những kỹ thuật hình học hoặc thuật toán bắt nguồn từ giải tích hoặc đại số tuyến tính. Đại số cũng nghiên cứu và điều tra phương trình Diophantine trong đó những thông số và nghiệm là những số nguyên. Có nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng, đa phần đến từ triết lý số .Phương trình vi phân là phương trình tương quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải khi ta tìm được một biểu thức cho hàm không nhờ vào vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để quy mô hóa những quy trình tương quan đến vận tốc đổi khác của biến số và được sử dụng trong những nghành nghề dịch vụ như vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế tài chính .Ký hiệu ” = “, Open trong mọi phương trình, được ý tưởng vào năm 1557 bởi Robert Recorde, người cho rằng không gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài. [ 1 ]

Mục lục

1 Giới thiệu
1.1 Minh họa
1.2 Tham số và ẩn số
1.3 Đồng nhất thức
2 Phương trình tương đương và phương trình hệ quả
2.1 Khái niệm
2.2 Các phép biến đổi tương đương
3 Đại số
3.1 Phương trình đa thức
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
4 Hình học
4.1 Hình học giải tích
4.2 Phương trình Descartes
4.3 Phương trình tham số
5 Lý thuyết số
5.1 Phương trình Diophantine
5.2 Đại số và số siêu việt
5.3 Hình học đại số
6 Phương trình vi phân
6.1 Phương trình vi phân thường
6.2 Phương trình vi phân riêng phần
7 Các loại phương trình
8 Xem thêm
9 Ghi chú
10 Tham khảo

Giới thiệuSửa đổi

Minh họaSửa đổi

Minh họa một phương trình đơn thuần ; x, y, z là những số thực, tựa như như trọng số .Một phương trình tựa như như cái cân, cân đối hoặc chênh lệch .Mỗi vế của phương trình tương ứng với một vế của sự cân đối. Các đại lượng khác nhau hoàn toàn có thể được đặt ở mỗi bên : nếu khối lượng ở hai bên bằng nhau thì cái cân sẽ cân đối, và tựa như như vậy thì cân đối bộc lộ số dư cũng là cân đối ( nếu không, thì cân đối tương ứng với một bất đẳng thức được bộc lộ bằng một bất phương trình ) .Trong hình minh họa, x, y và z là tổng thể những đại lượng khác nhau ( trong trường hợp này là số thực ) được màn biểu diễn dưới dạng trọng số tròn và mỗi x, y và z có trọng số khác nhau. Phép cộng tương ứng với việc thêm khối lượng, trong khi phép trừ tương ứng với việc vô hiệu khối lượng khỏi những gì đã có. Khi bình đẳng giữ nguyên, tổng khối lượng của mỗi bên là như nhau .

Tham số và ẩn sốSửa đổi

Phương trình thường chứa những số hạng khác với ẩn số. Các thuật ngữ khác này, được giả định là đã biết, thường được gọi là hằng số, thông số hoặc tham số .Một ví dụ về phương trình gồm có x và y là ẩn số và tham số R làx 2 + y 2 = R 2. { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 }. } $x^{2}+y^{2}=R^{2}.$ Khi R được chọn có giá trị là 2 ( R = 2 ), phương trình này sẽ được thấy, khi được phác thảo trong hệ tọa độ Descartes, là phương trình cho một đường tròn đơn cử có nửa đường kính là 2. Do đó, phương trình với R không xác lập là phương trình tổng quát của đường tròn .Thông thường, những ẩn số được ký hiệu bằng những vần âm ở cuối bảng vần âm : x, y, z, w, …, trong khi những thông số ( tham số ) được ký hiệu bằng những vần âm ở đầu bảng : a, b, c, d, …. Ví dụ, phương trình bậc hai tổng quát thường được viết ax2 + bx + c = 0. Quá trình tìm nghiệm, hoặc, trong trường hợp tham số, màn biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là giải phương trình. Biểu thức của nghiệm như vậy diễn đạt bằng những thông số kỹ thuật còn được gọi là nghiệm số .Hệ phương trình là một tập hợp những phương trình đồng thời, thường có một số ít ẩn số, mà những nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp những giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong mạng lưới hệ thống. Ví dụ, hệ phương trình :3 x + 5 y = 2 5 x + 8 y = 3 { \ displaystyle { \ begin { aligned } 3 x + 5 y và = 2 \ \ 5 x + 8 y và = 3 \ end { aligned } } } ${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$ có nghiệm duy nhất x = 1 ; y = 1 .

Đồng nhất thứcSửa đổi

Đồng nhất thức là một phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể có của (các) biến mà nó chứa. Nhiều danh tính được biết đến trong đại số và giải tích. Trong quá trình giải một phương trình, một đồng nhất thức thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình làm cho nó dễ giải hơn.

Trong đại số, một ví dụ về đồng nhất thức là hiệu của hai bình phương 😡 2 y 2 = ( x + y ) ( x y ) { \ displaystyle x ^ { 2 } – y ^ { 2 } = ( x + y ) ( x-y ) } $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ là đúng với mọi x và y .Lượng giác là một nghành nghề dịch vụ sống sót nhiều đồng nhất thức ; chúng rất có ích trong việc vận dụng hoặc giải những phương trình lượng giác. Hai trong số nhiều đồng nhất thức tương quan đến hàm sin và côsin là :sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 { \ displaystyle \ sin ^ { 2 } ( \ theta ) + \ cos ^ { 2 } ( \ theta ) = 1 } $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ vàsin ( 2 θ ) = 2 sin ( θ ) cos ( θ ) { \ displaystyle \ sin ( 2 \ theta ) = 2 \ sin ( \ theta ) \ cos ( \ theta ) } $\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$ là đúng với mọi θ .Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn nhu cầu phương trình :3 sin ( θ ) cos ( θ ) = 1, { \ displaystyle 3 \ sin ( \ theta ) \ cos ( \ theta ) = 1 \, , } $3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$ trong đó θ được biết là số lượng giới hạn trong khoảng chừng từ 0 đến 45 độ, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng đồng nhất thức cho tích ở trên để tạo ra :3 2 sin ( 2 θ ) = 1, { \ displaystyle { \ frac { 3 } { 2 } } \ sin ( 2 \ theta ) = 1 \, , } ${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$ cho hiệu quảθ = 1 2 arcsin ( 2 3 ) 20.9. { \ displaystyle \ theta = { \ frac { 1 } { 2 } } \ arcsin \ left ( { \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) \ approx 20.9 ^ { \ circ }. } $\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$ Vì hàm sin là một hàm tuần hoàn nên có vô số nghiệm nếu không có số lượng giới hạn nào trên cho θ. Trong ví dụ này, số lượng giới hạn θ nằm trong khoảng chừng từ 0 đến 45 độ ý niệm rằng chỉ có một nghiệm duy nhất .

Phương trình tương đương và phương trình hệ quảSửa đổi

Khái niệmSửa đổi

Cho phương trình ( 1 ) f ( x ) = g ( x ) { \ displaystyle f ( x ) = g ( x ) } $f(x)=g(x)$ có tập nghiệm là S { \ displaystyle S } $S$ và phương trình ( 2 ) f 1 ( x ) = g 1 ( x ) { \ displaystyle f_ { 1 } ( x ) = g_ { 1 } ( x ) } $f_{1}(x)=g_{1}(x)$ có tập nghiệm là S 1 { \ displaystyle S_ { 1 } } $S_{1}$ .

Nếu S = S 1 {\displaystyle S=S_{1}}

$S=S_{1}$ thì 2 phương trình ( 1 ) và ( 2 ) là 2 phương trình tương tự. Ta ký hiệu f ( x ) = g ( x ) f 1 ( x ) = g 1 ( x ) { \ displaystyle f ( x ) = g ( x ) \ Leftrightarrow f_ { 1 } ( x ) = g_ { 1 } ( x ) } $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x)$ .

Nếu S S 1 {\displaystyle S\subset S_{1}}

$S\subset S_{1}$ thì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả của phương trình ( 1 ). Ta ký hiệu f ( x ) = g ( x ) f 1 ( x ) = g 1 ( x ) { \ displaystyle f ( x ) = g ( x ) \ Rightarrow f_ { 1 } ( x ) = g_ { 1 } ( x ) } $f(x)=g(x)\Rightarrow f_{1}(x)=g_{1}(x)$ . Các nghiệm của phương trình ( 2 ) mà không là nghiệm của phương trình ( 1 ) được gọi là nghiệm ngoại lai .Ví dụ, phương trình x = 1 { \ displaystyle x = 1 } $x=1$ có nghiệm x = 1. { \ displaystyle x = 1. } $x=1.$ Nâng cả hai vế lên số mũ của 2 ( có nghĩa là vận dụng hàm f ( s ) = s 2 { \ displaystyle f ( s ) = s ^ { 2 } } $f(s)=s^{2}$ về cả hai vế của phương trình ) biến hóa phương trình thành x 2 = 1 { \ displaystyle x ^ { 2 } = 1 } $x^{2}=1$ , không riêng gì có nghiệm trước đó mà còn tạo ra nghiệm ngoại lai là x = 1. { \ displaystyle x = – 1. } $x=-1.$ Hơn nữa, nếu hàm không xác lập tại một số ít giá trị ( ví dụ điển hình như 1 / x, không được xác lập cho x = 0 ), những nghiệm sống sót tại những giá trị đó hoàn toàn có thể bị mất. Vì vậy, cần phải thận trọng khi vận dụng một phép đổi khác như vậy cho một phương trình .

Các phép biến đổi tương đươngSửa đổi

Các phép toán sau đây biến một phương trình thành một phương trình tương đương – với điều kiện là các phép toán đó có ý nghĩa đối với các biểu thức mà chúng được áp dụng:

Xem thêm: Mật ong ruồi là gì? Đặc điểm, tác dụng của mật ong ruồi với sức khỏe.

Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.
Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc II.
Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.
Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các biểu thức ở 2 vế cùng dấu và không vi phạm ĐKXĐ.
Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau

Các phép đổi khác trên là cơ sở của hầu hết những giải pháp cơ bản để giải phương trình cũng như 1 số ít giải pháp ít cơ bản hơn, như chiêu thức khử Gauss .

Đại sốSửa đổi

Phương trình đa thứcSửa đổi

Các nghiệm 1 và 2 của phương trình đa thức x2 x + 2 = 0 là những điểm đồ thị của hàm bậc hai y = x2 x + 2 cắt trục x .Nói chung, một phương trình đại số hoặc phương trình đa thức là một phương trình có dạngP. = 0 { \ displaystyle P = 0 } $P=0$ hoặcP. = Q { \ displaystyle P = Q } $P=Q$ trong đó P. và Q. là những đa thức với thông số trong một số ít tập hợp số nào đó ( số thực, số phức, v.v. ), thường là tập hợp những số hữu tỉ. Một phương trình đại số là đơn biến nếu nó chỉ chứa một biến. Mặt khác, một phương trình đa thức hoàn toàn có thể gồm có một số ít biến, trong trường hợp đó nó được gọi là đa biến ( nhiều biến, x, y, z, v.v. ). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưu tiên hơn phương trình đại số .Ví dụ ,x 5 3 x + 1 = 0 { \ displaystyle x ^ { 5 } – 3 x + 1 = 0 } $x^{5}-3x+1=0$ là một phương trình đại số ( đa thức ) đơn biến với những hệ số nguyên vày 4 + x y 2 = x 3 3 x y 2 + y 2 1 7 { \ displaystyle y ^ { 4 } + { \ frac { xy } { 2 } } = { \ frac { x ^ { 3 } } { 3 } } – xy ^ { 2 } + y ^ { 2 } – { \ frac { 1 } { 7 } } } $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ là một phương trình đa thức nhiều biến trên trường những số hữu tỉ .Một số nhưng không phải tổng thể những phương trình đa thức với thông số hữu tỉ đều có nghiệm là biểu thức đại số với một số ít hữu hạn những phép toán chỉ tương quan đến những thông số đó ( nghĩa là nó hoàn toàn có thể được giải bằng đại số ). Điều này hoàn toàn có thể được triển khai cho tổng thể những phương trình cấp một, hai, ba hoặc bốn ; nhưng so với bậc năm trở lên, nó hoàn toàn có thể được giải cho một số ít phương trình, nhưng, như định lý Abel-Ruffini chứng tỏ, không phải cho toàn bộ. Một lượng lớn điều tra và nghiên cứu đã được dành để thống kê giám sát những giá trị gần đúng đúng chuẩn hiệu suất cao của những nghiệm thực hoặc nghiệm phức của một phương trình đại số đơn biến ( xem phần Tìm nghiệm nguyên của đa thức ) và những nghiệm chung của 1 số ít phương trình đa thức nhiều biến ( xem Hệ phương trình đa thức ) .

Hệ phương trình tuyến tínhSửa đổi

Cửu chương toán thuật là một cuốn sách ẩn danh của Trung Quốc yêu cầu chiêu thức giải hệ phương trình tuyến tính .Hệ phương trình tuyến tính ( hay hệ tuyến tính ) là một tập hợp những phương trình tuyến tính tương quan đến cùng một tập những biến. [ a ] Ví dụ :3 x + 2 y z = 1 2 x 2 y + 4 z = 2 x + 1 2 y z = 0 { \ displaystyle { \ begin { alignedat } { 7 } 3 x và và \ ; + \ ; và và 2 y và và \ ; – \ ; và và z và và \ ; = \ ; và và 1 và \ \ 2 x và và \ ; – \ ; và và 2 y và và \ ; + \ ; và và 4 z và và \ ; = \ ; và và – 2 và \ \ – x và và \ ; + \ ; và và { \ tfrac { 1 } { 2 } } y và và \ ; – \ ; và và z và và \ ; = \ ; và và 0 và \ end { alignedat } } } ${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

là một hệ ba phương trình theo ba biến x, y, z. Một nghiệm số cho một hệ thống tuyến tính là một phép gán các số cho các biến sao cho tất cả các phương trình được thỏa mãn đồng thời. Một nghiệm số cho hệ phương trình trên là

x = 1 y = 2 z = 2 { \ displaystyle { \ begin { alignedat } { 2 } x và \, = \, và 1 \ \ y và \, = \, và – 2 \ \ z và \, = \, và – 2 \ end { alignedat } } } ${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$ vì nó làm cho cả ba phương trình cùng đúng. Từ ” hệ ” chỉ ra rằng những phương trình được xem xét chung, thay vì riêng không liên quan gì đến nhau .Trong toán học, triết lý về hệ tuyến tính là cơ sở và là một phần cơ bản của đại số tuyến tính, một chủ đề được sử dụng trong hầu hết những phần của toán học văn minh. Các thuật toán giám sát để tìm ra giải thuật là một phần quan trọng của đại số tuyến tính số và đóng một vai trò điển hình nổi bật trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, khoa học máy tính và kinh tế tài chính. Một hệ phương trình phi tuyến tính thường hoàn toàn có thể được giao động bằng một mạng lưới hệ thống tuyến tính ( xem tuyến tính hóa ), một kỹ thuật hữu dụng khi tạo quy mô toán học hoặc mô phỏng máy tính của một mạng lưới hệ thống tương đối phức tạp .

Hình họcSửa đổi

Hình học giải tíchSửa đổi

Đường conic là giao tuyến của mặt phẳng và mặt nón .Trong hình học Euclide, hoàn toàn có thể link một tập hợp những tọa độ với mỗi điểm trong khoảng trống, ví dụ bằng một lưới trực giao. Phương pháp này được cho phép người ta miêu tả những hình hình học bằng những phương trình. Một mặt phẳng trong khoảng trống ba chiều hoàn toàn có thể được màn biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một phương trình có dạng a x + b y + c z + d = 0 { \ displaystyle ax + by + cz + d = 0 } $ax+by+cz+d=0$ , Ở đâu a, b, c { \ displaystyle a, b, c } $a,b,c$ và d { \ displaystyle d } $d$ là số thực và x, y, z { \ displaystyle x, y, z } $x,y,z$ là những ẩn số tương ứng với tọa độ của một điểm trong hệ được cho bởi lưới trực giao. Giá trị a, b, c { \ displaystyle a, b, c }là tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác lập bởi phương trình. Một đường được biểu lộ là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất với những giá trị trong R 2 { \ displaystyle \ mathbb { R } ^ { 2 } } $\mathbb {R} ^{2}$ hoặc dưới dạng tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính với những giá trị trong R 3. { \ displaystyle \ mathbb { R } ^ { 3 }. } $\mathbb {R} ^{3}.$ Đường conic là tập hợp những giao điểm của một mặt nón có phương trình x 2 + y 2 = z 2 { \ displaystyle x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = z ^ { 2 } } $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong khoảng trống, mọi hình nón được định nghĩa là tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình của hình nón vừa cho. Chủ nghĩa hình thức này được cho phép người ta xác lập vị trí và thuộc tính của trọng tâm trong một đường conic .Việc sử dụng những phương trình được cho phép người ta sử dụng một nghành toán học to lớn để giải những câu hỏi hình học. Hệ tọa độ Descartes biến một bài toán hình học thành một bài toán nghiên cứu và phân tích, một khi những hình được đổi khác thành phương trình ; do đó tên hình học giải tích. Quan điểm này do Descartes nêu ra đã làm đa dạng và phong phú và sửa đổi loại hình học được những nhà toán học Hy Lạp cổ đại hình thành .Hiện nay, hình học giải tích chỉ định một nhánh hoạt động giải trí của toán học. Mặc dù nó vẫn sử dụng những phương trình để miêu tả những số liệu, nó cũng sử dụng những kỹ thuật phức tạp khác như giải tích hàm và đại số tuyến tính .

Phương trình DescartesSửa đổi

Một hệ tọa độ Descartes là một hệ tọa độ mà quy định cụ thể từng điểm duy nhất trong một mặt phẳng bởi một cặp số tọa độ, đó là những khoảng cách có dấu từ điểm đến hai trục cố định vuông góc với nhau, được đánh dấu bằng cách sử dụng cùng một vector đơn vị chiều dài.

Người ta hoàn toàn có thể sử dụng cùng một nguyên tắc để xác lập vị trí của bất kể điểm nào trong khoảng trống ba chiều bằng cách sử dụng ba tọa độ Descartes, là những khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc với nhau ( hoặc tương tự, bằng phép chiếu vuông góc của nó lên ba đường vuông góc với nhau ) .Hệ tọa độ Descartes với đường tròn nửa đường kính là 2 với tâm ở gốc được ghi lại màu đỏ. Phương trình của đường tròn là ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r2 trong đó a và b là tọa độ của tâm ( a, b ) và r là nửa đường kính .

Việc phát minh ra hệ tọa độ Descartes vào thế kỷ 17do René Descartes (tên Latinh: Cartesius) đã cách mạng hóa toán học bằng cách cung cấp mối liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa hình học Euclid và đại số. Sử dụng hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (chẳng hạn như đường cong) có thể được mô tả bằng phương trình Descartes: phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm nằm trên hình dạng. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong một mặt phẳng, có tâm tại một điểm cụ thể được gọi là điểm gốc, có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ x và y thỏa mãn phương trình x2 + y2 = 4.

Phương trình tham sốSửa đổi

Phương trình tham số cho đường cong bộc lộ tọa độ của những điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một biến số, được gọi là tham số. [ 5 ] [ 6 ] Ví dụ ,x = cos t y = sin t { \ displaystyle { \ begin { aligned } x và = \ cos t \ \ y và = \ sin t \ end { aligned } } } ${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho những mặt phẳng, đa tạp và những dạng đại số có số chiều cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc phong phú, và số phương trình bằng thứ nguyên của khoảng trống trong đó đa tạp hoặc phong phú được xem xét ( so với đường cong, kích cỡ là một và một tham số được sử dụng, so với mặt phẳng có size hai và hai tham số, v.v. ) .

Lý thuyết sốSửa đổi

Phương trình DiophantineSửa đổi

Một phương trình Diophantine là một phương trình đa thức trong hai hay nhiều ẩn số mà chỉ cần quan tâm đến các nghiệm là các số nguyên (một nghiệm số nguyên là một nghiệm mà tất cả các ẩn số là các số nguyên). Phương trình Diophantine tuyến tính là một phương trình giữa hai tổng đơn thức bậc không hoặc bậc nhất. Một ví dụ về phương trình Diophantine tuyến tính là ax + by = c trong đó a, b và c là các hằng số. Phương trình Diophantine hàm mũ là một phương trình mà số mũ của các số hạng của phương trình có thể là ẩn số.

Các bài toán Diophantine có ít phương trình hơn các biến chưa biết và liên quan đến việc tìm số nguyên cho kết quả chính xác cho tất cả các phương trình. Trong ngôn ngữ kỹ thuật hơn, các nghiệm này xác định một đường cong đại số, bề mặt đại số hoặc đối tượng tổng quát hơn, và hỏi về các điểm lưới trên đó.

Từ Diophantine dùng để chỉ nhà toán học Hy Lạp ở thế kỷ thứ 3, Diophantus ở Alexandria, người đã nghiên cứu các phương trình như vậy và là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa chủ nghĩa ký hiệu vào đại số. Nghiên cứu toán học về các vấn đề Diophantine mà Diophantus khởi xướng hiện nay được gọi là giải tích Diophantine.

Đại số và số siêu việtSửa đổi

Một số đại số là 1 số ít mà là nghiệm của một phương trình đa thức khác 0 một biến với những thông số hữu tỉ ( hoặc tương tự – bằng cách xóa những mẫu số – với những hệ số nguyên ). Các số như pi không phải là đại số được gọi là số siêu việt. Hầu hết tổng thể những số thực và số phức đều là những số siêu việt .

Hình học đại sốSửa đổi

Hình học đại số là một nhánh của toán học, điều tra và nghiên cứu một cách cổ xưa những nghiệm của phương trình đa thức. Hình học đại số tân tiến dựa trên những kỹ thuật trừu tượng hơn của đại số trừu tượng, đặc biệt quan trọng là đại số giao hoán, với ngôn từ và những yếu tố của hình học .Đối tượng nghiên cứu và điều tra cơ bản của hình học đại số là những dạng đại số, là những biểu lộ hình học của những nghiệm của hệ phương trình đa thức. Ví dụ về những lớp phong phú đại số được nghiên cứu và điều tra nhiều nhất là : đường cong đại số phẳng, gồm có đường thẳng, đường tròn, parabol, hình elip, hypebol, đường cong hình khối như đường cong elliptic và đường cong tứ phương như hình chanh, và hình bầu dục Cassini. Một điểm của mặt phẳng thuộc một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn nhu cầu một phương trình đa thức đã cho. Các câu hỏi cơ bản tương quan đến việc điều tra và nghiên cứu những điểm chăm sóc đặc biệt quan trọng như điểm kỳ dị, điểm uốn và điểm ở vô cùng. Các câu hỏi nâng cao hơn tương quan đến cấu trúc link của đường cong và quan hệ giữa những đường cong được cho bởi những phương trình khác nhau .

Phương trình vi phânSửa đổi

Một hình mê hoặc kỳ lạ, phát sinh khi giải một phương trình vi phân nhất địnhPhương trình vi phân là một phương trình toán học liên hệ 1 số ít hàm với những đạo hàm của nó. Trong những ứng dụng, những hàm thường đại diện thay mặt cho những đại lượng vật lý, những đạo hàm đại diện thay mặt cho vận tốc biến hóa của chúng và phương trình xác lập mối quan hệ giữa hai hàm. Bởi vì những mối quan hệ như vậy là rất thông dụng, phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành gồm có vật lý, kỹ thuật, kinh tế tài chính và sinh học .Trong toán học thuần túy, phương trình vi phân được nghiên cứu và điều tra từ nhiều góc nhìn khác nhau, hầu hết chăm sóc đến nghiệm của chúng – tập những hàm thỏa mãn nhu cầu phương trình. Chỉ những phương trình vi phân đơn thuần nhất mới hoàn toàn có thể giải được bằng công thức tường minh ; tuy nhiên, một số ít đặc thù của nghiệm của một phương trình vi phân đã cho hoàn toàn có thể được xác lập mà không cần tìm dạng đúng chuẩn của chúng .Nếu không có công thức riêng cho giải pháp, thì giải thuật hoàn toàn có thể được tính gần đúng về mặt số học bằng máy tính. Lý thuyết hệ động lực tập trung chuyên sâu vào nghiên cứu và phân tích định tính những hệ được diễn đạt bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều chiêu thức số đã được tăng trưởng để xác lập những nghiệm với một mức độ đúng chuẩn nhất định .

Phương trình vi phân thườngSửa đổi

Một phương trình vi phân thông thường hoặc ODE là một phương trình chứa một hàm của một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ ” thông thường ” được sử dụng trái ngược với thuật ngữ phương trình vi phân riêng phần, có thể liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, có các nghiệm có thể được thêm và nhân với hệ số, được xác định và hiểu rõ, đồng thời thu được các nghiệm dạng đóng chính xác. Ngược lại, các ODE thiếu các giải pháp cộng là phi tuyến tính và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều, vì người ta hiếm khi có thể biểu diễn chúng bằng các hàm cơ bản ở dạng đóng: Thay vào đó, các giải pháp chính xác và giải tích của ODE ở dạng chuỗi hoặc tích phân. Các phương pháp đồ thị và số, được áp dụng bằng tay hoặc bằng máy tính, có thể ước tính các giải pháp của ODE và có thể mang lại thông tin hữu ích, thường chỉ đủ trong trường hợp không có các nghiệm số tích phân chính xác.

Xem thêm: Em đã lột xác bằng BỘT ĐẬU ĐỎ trong 2 tháng hè !!

Phương trình vi phân riêng phầnSửa đổi

Phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một phương trình vi phân có chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. (Điều này trái ngược với các phương trình vi phân thông thường, xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng.) PDE được sử dụng để xây dựng các vấn đề liên quan đến các hàm của một số biến và được giải quyết bằng tay hoặc được sử dụng để tạo ra một mô hình máy tính có liên quan.

PDE hoàn toàn có thể được sử dụng để diễn đạt một loạt những hiện tượng kỳ lạ như âm thanh, nhiệt, tĩnh điện, điện động lực học, dòng chất lỏng, độ đàn hồi, hoặc cơ học lượng tử. Các hiện tượng kỳ lạ vật lý có vẻ như độc lạ này hoàn toàn có thể được hình thức hóa tựa như về mặt PDE. Cũng giống như phương trình vi phân thông thường thường quy mô hệ động lực một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường quy mô mạng lưới hệ thống nhiều chiều. PDE tìm thấy tổng quát của chúng trong những phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên .

Các loại phương trìnhSửa đổi

Các phương trình hoàn toàn có thể được phân loại theo những loại hoạtđộngvà số lượng tương quan. Các loại quan trọng gồm có :

Mộtphương trình đại sốhayđa thứcphương trình là một phương trình mà trong đó cả hai bên đều đa thức (xem thêmhệ phương trình đa thức).Đây là những phân loại tiếp theo theobậc:
Phương trình tuyến tínhcho bậc một
Phương trìnhbậc hai
Phương trìnhbậc ba
Phương trình bậc bốn
Phương trình bậc năm
Phương trình bậc sáu
Phương trình nhiễm khuẩncho mức độ bảy
Mộtphương trình Diophantinelà một phương trình mà ẩn số bắt buộc phải làsố nguyên
Mộtphương trình siêu nghiệmlà một phương trình liên quan đến mộthàm siêu việtcủa những cái chưa biết của nó
Mộtphương trình tham sốlà một phương trình mà các giải pháp được tìm kiếm như các hàm của một số biến khác, được gọi là cáctham sốxuất hiện trong các phương trình
Một phương trình lượng giác là một phương trình chứa các hàm số lượng giác
Mộtphương trình chức nănglà một phương trình trong đó các ẩn số là cácchức năngchứ không phải là các số đơn giản
Mộtphương trình vi phânlà một phương trình chức năngliênquan đến các dẫn xuất của các chức năng không biết
Mộtphương trình tích phânlà một phương trình chức năng liên quan đến cácphản nghịchcủa các chức năng không biết
Mộtphương trình vi phân phân cựclà một phương trình chức năngliên quan đếncả cácdẫn xuấtvà cácchất chống lạicác chức năng không biết
Mộtphương trình khác biệtlà một phương trình mà trong đó hàm không biết là một hàmfxảy ra trong phương trình thông quaf(x),f(x-1),…,f(x-k) cho một số nguyênkđược gọi làbậccủa Phương trình.Nếuxđược giới hạn là một số nguyên, một phương trình khác biệt là giống như mộtmối quan hệ tái phát.

Xem thêmSửa đổi

Phương trình Pythagore
Bất phương trình
Phương trình đại số
Phương trình tuyến tính
Phương trình vi phân
Phương trình tích phân

Ghi chúSửa đổi

^ The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.

Tham khảoSửa đổi

^ a b Recorde, Robert, The Whetstone of Witte (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), trang thứ ba của chương “The rule of equation, commonly called Algebers Rule.”
^ Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. What is an Equation?. Truy cập ngày 27 tháng 2 năm 2019.
^ Lachaud, Gilles. Équation, mathématique. Encyclopædia Universalis (bằng tiếng Pháp).Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết)
^ “A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply “equations”)”. «Equation», in Mathematics Dictionary, Glenn James (mathematician)(de) et Robert C. James(de) (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, tr.131.
^ Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
^ Weisstein, Eric W. “Parametric Equations.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

Source: https://trangdahieuqua.com
Category: Làm đẹp